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Matematica

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Trattato di aritmetica di Filippo Calandri del 1491.

La parola matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "incline ad apprendere". Con questo termine di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).

La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di regina delle scienze: ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.

Evoluzione e finalità della matematica

Papiro egiziano che tratta di matematica

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata; ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che in talune lingue e in talune situazioni al termine singolare si preferisce il plurale matematiche.

Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Nella storia della matematica degli ultimi 500 anni, in relazione al miglioramento dei mezzi di comunicazione è comunque prevalsa la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi.

Questo è dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio per molti aspetti esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.

Matematica teorica e applicata [modifica]

Teorema di Pitagora in uno scritto cinese datato tra il 500 a.C. e il 200 a.C., questo teorema ha importanti ricadute pratiche e teoriche

Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.

Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.

Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.

Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.

Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.

Argomenti principali della matematica [modifica]

Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario guidato per un progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

Aritmetica [modifica]

Per approfondire, vedi la voce Aritmetica.

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.

I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

Algebra [modifica]

Per approfondire, vedi la voce Algebra.

I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi $3$ e $5$ è il loro prodotto $3 \times 5 = 15$ . Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. Ad esempio: per il Teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza $3$ e $4$ , quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo $x$ che risolve l'equazione:

$x^2 - 3^2 - 4^2 = 0 \;$ .

Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.

Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri i cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza $a$ e $b$ , la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo $x$ tale che $x^2 -a^2 - b^2 = 0 \;$ .

Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.

Geometria [modifica]

Per approfondire, vedi la voce Geometria.

Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente i seguenti oggetti primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono quindi altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.

Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita!). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2. Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti!

Analisi [modifica]

Per approfondire, vedi la voce Analisi matematica.

Lo studio dell'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti vengono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.

Settori della matematica [modifica]

Un abaco, un semplice mezzo di calcolo utilizzato fin dai tempi antichi

Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.

Quantità [modifica]

Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri interi naturali ("numeri interi") e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui costituisce un esempio famoso l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.

I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, che sono usati per rappresentare le quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.

$0, 1, 2, \ldots \,\!$	$0, 1, -1, \ldots \,\!$	$\frac{1}{2}, 0.7,\ldots \,\!$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots \,\!$	$i, e^{i\pi/3},\ldots \,\!$
Numeri naturali	Numeri interi	Numeri razionali	Numeri reali	Numeri complessi

Numero -- Numeri naturali -- Pi Greco -- Numeri interi -- Numeri razionali -- Numeri reali -- Numeri complessi -- Numeri ipercomplessi -- Quaternioni -- Ottetti -- Sedenioni -- Numeri iperreali -- Numeri surreali -- Numeri ordinali -- Numeri cardinali -- Numeri p-adici -- Successioni di interi -- Costanti matematiche -- Nome dei numeri -- Infinito

Strumenti [modifica]

$36 \div 9 =4 \,\!$	$x^2+3x+1=0 \,\!$	$\int 1_S\,d\mu=\mu(S) \,\!$
Aritmetica	Algebra	Analisi
	$\begin{matrix} A^{\mu \nu} B_{\sigma \tau}= T^{\mu\nu}_{\sigma \tau} \\ A^{\mu}_\nu B^\tau _\sigma = T^{\mu \tau}_{\nu \sigma } \end{matrix} \,\!$	$\frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac {\partial q(x,y) } {\partial x} \,\!$
Calcolo vettoriale	Calcolo tensoriale	Equazione differenziale

Teoria dei sistemi	Teoria del caos	Lista di funzioni

Strumenti informatici [modifica]

Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.

Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.

Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:

http://maxima.sourceforge.net/

http://www.octave.org/

Strutture [modifica]

Molti oggetti matematici, come serie di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.


Algebra astratta	Teoria dei numeri	Teoria dei gruppi

Topologia	Teoria delle categorie	Teoria degli ordini

Algebra astratta -- Teoria dei numeri -- Geometria algebrica -- Teoria dei gruppi -- Monoidi -- Analisi -- Topologia -- Algebra lineare -- Teoria dei grafi -- Algebra universale -- Teoria delle categorie

Spazi [modifica]

Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.


Topologia	Geometria	Trigonometria	Geometria differenziale	Geometria frattale

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria algebrica -- Geometria differenziale -- Topologia differenziale -- Topologia algebrica -- Algebra lineare -- Geometria frattale -- Teoria della misura -- Analisi funzionale

Matematica discreta [modifica]

Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer , compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.

Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei Problemi per il millennio.^[1]

$\begin{matrix} \left [ 1,2,3 \right ] & \left [ 1,3,2 \right ] \\ \left [ 2,1,3 \right ] & \left [ 2,3,1 \right ] \\ \left [ 3,1,2 \right ] & \left [ 3,2,1 \right ] \end{matrix} \,\!$
Calcolo combinatorio	Teoria ingenua degli insiemi	Teoria della computazione	Crittografia	Teoria dei grafi

Calcolo combinatorio -- -- Combinatorica -- Teoria della computazione -- -- Crittografia -- Teoria dei grafi -- Teoria dei giochi -- Teoria dei codici

Matematica applicata [modifica]

La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.


Fisica matematica	Fluido dinamica matematica	Ottimizzazione	Probabilità	Statistica	Matematica finanziaria	Teoria dei giochi

Teoremi e congetture famose [modifica]

Ultimo teorema di Fermat -- Ipotesi di Riemann -- Ipotesi del continuo -- Complessità P e NP -- Congettura di Goldbach -- Congettura dei numeri primi gemelli -- Teoremi di incompletezza di Gödel -- Congettura di Poincaré -- Argomento diagonale di Cantor -- Teorema di Pitagora -- Teorema del limite centrale -- Teorema fondamentale del calcolo integrale -- Teorema fondamentale dell'algebra -- Teorema fondamentale dell'aritmetica -- Teorema dei quattro colori -- Lemma di Zorn -- Identità di Eulero -- Congettura di Scholz -- Teorema del punto fisso di Brouwer -- Congettura di Collatz -- Teorema di Dandelin -- Teorema di Lagrange

Fondazioni e metodi [modifica]

Filosofia della matematica -- Intuizionismo matematico -- Costruttivismo matematico -- Fondamenti della matematica -- Logica matematica -- Teoria dei modelli -- Teoria assiomatica degli insiemi -- Teoria delle categorie -- Theorem-proving -- Matematica inversa -- Tabella dei simboli matematici -- Logica

Matematica e storia [modifica]

Per approfondire, vedi la voce Storia della matematica.

Persone, premi e competizioni [modifica]

Comunità della matematica [modifica]

Documentazione della matematica [modifica]

Classificazione delle ricerche matematiche, MSC

Matematica, arte e intrattenimento [modifica]

Aforismi e opinioni sulla matematica [modifica]

Le scienza matematica in particolare mostra ordine, simmetria e limitazione; e queste sono le più meravigliose forme della bellezza. (Aristotele, 384 a.C.-322 a.C.)
La matematica è la porta e la chiave delle scienze. (Ruggero Bacone, 1214-1294)
La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo. (Galileo Galilei, 1564-1642)
La matematica è più di una forma d'arte. (Takakazu Seki, 1642-1708)
La matematica è la Vita degli Dei. (Novalis, 1772-1801)
La matematica è la regina delle scienze, l'aritmetica è a regina della matematica. (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)
La matematica è un linguaggio. (Josiah Gibbs, 1839-1903)
L'essenza della matematica è nella sua libertà. (Georg Cantor, 1845-1918)
In realtà le matematiche esigono molta immaginazione, è impossibile essere un buon matematico se non si è, nello stesso tempo, un po' poeta. (Sofia Kovalevskaya, 1850-1891)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (Bertrand Russell, 1872-1970)
Un matematico, come un pittore o un poeta, apre dei sentieri. Se i suoi durano più dei loro, è perché sono fatti con le idee. (Godfrey Harold Hardy 1877-1947)
I matematici sono dei sarti impazziti: confezionano "tutti gli abiti possibili" sperando di fare anche qualcosa adatto ad essere effettivamente indossato. (Attribuito a David van Dantzig, 1900-1959)
Il linguaggio della matematica si rivela irragionevolmente efficace nelle scienze naturali […] un dono meraviglioso che non comprendiamo né meritiamo. (Eugene Wigner, 1902-1995)
La matematica è linguaggio […] più logica. (Richard Feynman, 1918-1988)
All'inizio e alla fine abbiamo il mistero. Potremmo dire che abbiamo il disegno di Dio. A questo mistero la matematica si avvicina, senza penetrarlo. (Ennio De Giorgi, 1928-1996)
La matematica è quella parte della scienza che potresti continuare a costruire anche se domattina, svegliandoti, scopri che l'universo non c'è più. (Citato da Dave Rusin)

Bibliografia [modifica]

Letture introduttive [modifica]

Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart (1996): What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed., Oxford University Press, ISBN 0-19-510519-2 [trad. it. Che cos'è la matematica, seconda edizione riveduta da Ian Stewart, Bollati Boringhieri, 2000]
Gian-Carlo Rota (1997): Indiscrete Thoughts, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3866-0
Keith Devlin (2000): The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 0-8050-7254-3 [trad. it. Il linguaggio della matematica, Bollati Boringhieri, 2002]
Timothy Gowers (2002): Mathematics, a very short introduction, Oxford University Press, ISBN 0-19-285361-9 - trad. italiana Matematica - un'introduzione, Giulio Einaudi (2004).
Davis, Philip J. and Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., (1980).

Matematica del XX secolo [modifica]

Morris Kline (1981): Mathematics - The loss of Certainty. Oxford University Press (1980). (Esposizione di livello medio dei cambiamenti di concezione della matematica che si sono imposti nel XX secolo.)
Björn Engquist, Wilfried Schmid eds. (2001): Mathematics Unlimited - 2001 and beyond, Springer. Raccolta di una ottantina di articoli di matematici militanti sullo stato corrente e sulle prospettive della ricerca matematica.

Testi universitari [modifica]

Alvino A., Trombetti G.: Elementi di Matematica I, ed Liguori.
Alvino A., Carbone L., Trombetti G.: Esercitazioni di Matematica I/1,2, ed Liguori.
Bramanti, Pagani, Salsa: Matematica, ed Zanichelli
Marcellini, Sbordone: Elementi di Matematica, ed Liguori